Harri Mäki on opiskellut Suomessa ensisijaisesti Reijo Koskisen johdolla. Valmistuttuaan Geneven Musiikkikonservatoriosta Thomas Friedlin luokalta hän liittyi Tapiola Sinfoniettaan. Hän on opiskellut yksityisesti mm. Charles Neidichin ja Osmo Vänskän opastuksella.
Mäki on kantaesittänyt useita kymmeniä teoksia, mm. hänelle sävelletyt Juhani Nuorvalan ja Kirmo Lintisen klarinettikonsertot. Hän on Sibelius-Akatemian puupuhallinmusiikin professori. Mäki on toiminut solistina ja kamarimuusikkona Euroopan maiden lisäksi Kaukoidässä sekä Pohjois- ja Etelä-Amerikassa. Hän on esiintynyt useilla merkittävillä festivaaleilla (mm. Barcelona, Granada, Lockenhaus, Moritzburg, Kuhmo, Peking ja Tokio) Vuonna 2012 hänelle myönnettiin taiteellisista ja pedagogisista ansioistaan Pro Musica-palkinto.
